§ 3. Основные теоремы теории вероятностей
(Свойства
вероятностей)
Исходя из аксиом (Р1, Р2, Р3) установим ряд важнейших свойств вероятностей случайных событий.
Теорема 3.1. Вероятность события 
, противоположного
событию А, равна:
Р(
) = 1 - Р(А).
(3.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Т.к. А È = W,
А Ç = Æ, то согласно
, 
, имеем:
Р( А È ) = Р(А) + Р() = Р(W) = 1, откуда
Р( ) = 1 - Р(А). ¨
Следствие 3.1. Вероятность невозможного события равна нулю Р(
Æ ) = 0
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Положим в равенстве (3.1),
которое справедливо для каждого случайного события А Î Á , А = W
. Тогда Р(Æ) = Р(
) = 1 - Р(W) = 0.
З а м е ч а н и е. Вероятность невозможного события равна нулю, но событие нулевой вероятности не обязательно есть невозможное событие.
Теорема
3.2. Пусть А и В случайные
события, такие, что А Ì В и
А,
В Î Á . Тогда
Р( В \ А ) = Р( В ) - Р( А ). (3.2)
Д о к з а т е л ь с т в о.
Так как А Ì В , то В = А È ( В \ А ) , причем А Ç ( В \ А ) = Æ.
Поэтому по аксиоме Р( В ) = Р( А ) + Р( В \ А ), откуда получаем
Р( В \ А ) = Р( В ) - Р( А ). ¨
Следствие
3.2. Если А Ì В, то Р( А ) £
Р( В ).
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из А1, т.к. Р( В \ А ) ³ 0, то из равенства 3.2 имеем
Р( В ) - Р( А ) ³ 0, откуда Р( В ) ³ Р( А ).
Следствие
3.3. Для каждого случайного события А Î Á , 0 £ Р(А) £ 1.
В самом деле, А Ì W, поэтому Р( А ) £ Р( W ) = 1.
Теорема 3.3. (Теорема
сложения вероятностей).
Пусть А и
В случайные события А, В Î
Á . Тогда
Р( В È А ) = Р( В ) + Р( А ) - Р( А Ç В ). (3.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Представим А È В в виде объединения трех попарно непересекающихся событий
АÈВ = { А \ (АÇВ)} È { В \ (АÇВ)} È (АÇВ).
По аксиоме и
теореме 3.2 получим
Р( АÈВ ) = Р{{ А \ (АÇВ)} È { В \ (АÇВ)} È (АÇВ)} =
= Р{А \ (АÇВ)} + Р{ В \ (АÇВ)} + Р(АÇВ) =
= Р( А ) - Р( АÇВ ) + Р( В ) - Р(АÇВ) + Р(АÇВ) =
= Р( А ) + Р( В ) - Р(АÇВ). ¨
Следствие
3.4. Из теоремы 3.3 легко получить формулу
для вероятности суммы
любого конечного числа событий.
Путь А1, А2, А3, ... , Аn Î Á - случайные события. Тогда
